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sdut 2610:Boring Counting(第四届山东省省赛原题,划分树 + 二分)

Boring Counting

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题目描述

    In this problem you are given a number sequence P consisting of N integer and Pi is the ith element in the sequence. Now you task is to answer a list of queries, for each query, please tell us among [L, R], how many Pi is not less than A and not greater than B( L<= i <= R). In other words, your task is to count the number of Pi (L <= i <= R,  A <= Pi <= B).

输入

     In the first line there is an integer T (1 < T <= 50), indicates the number of test cases. 
     For each case, the first line contains two numbers N and M (1 <= N, M <= 50000), the size of sequence P, the number of queries. The second line contains N numbers Pi(1 <= Pi <= 10^9), the number sequence P. Then there are M lines, each line contains four number L, R, A, B(1 <= L, R <= n, 1 <= A, B <= 10^9)

输出

    For each case, at first output a line ‘Case #c:’, c is the case number start from 1. Then for each query output a line contains the answer.

示例输入

1
13 5
6 9 5 2 3 6 8 7 3 2 5 1 4
1 13 1 10
1 13 3 6
3 6 3 6
2 8 2 8
1 9 1 9

示例输出

Case #1:
13
7
3
6
9

提示

 

来源

 2013年山东省第四届ACM大学生程序设计竞赛
 
 
  划分树 + 二分(据说归并树也可以做)
 
  题意:给你T组测试数据,每一组测试数据开始有两个整数N和M。分别表示下一行要输入N个整数,后面接着有M行询问,每行询问有4个整数 L,R,A,B,表示在区间 [L,R] 中查找 A<=Pi<=B 的数有多少个,输出数的个数。
 
  思路
  这道题最直接的思路是对要求的区间排一下序,然后依次判断比较,记录下在范围[A,B]之内的数有多少个,即为结果。但是M即询问的次数范围在[1,50000],如果每询问一次都要排一次序的话,时间消耗过大,所以上来直接pass掉这种思路。
  因为这道题是基于区间查询,所以接下来我很自然的就想到了“线段树”。线段树的每一个节点代表一个区间,节点中存储的值为区间的特定值,在这里我用节点区间中的最大值,最小值,即数值范围,来表示这个特定值。查询的时候,先找到要找的区间,然后递归下去寻找这个区间内的值有多少个是在数值范围内。如果找到这个区间,发现这个区间的最小值都比[A,B]中的上限B要大,或者最大值都比下限A要小。说明这个区间内没有一个是符合要求的,这个节点代表的整个子树就不用找了。如此,会节约不少时间。
  但是线段树的方法也会超时,比赛的时候看到TLE可是苦思冥想了好久,想了各种优化的方法。无奈,还是没能用线段树解出这道题。
  后来比赛结束后查题解,才知道原来还有"划分树"这种神奇的东西。划分树是基于线段树的,但是我感觉它只继承了线段树“基于区间”的特点,其他的感觉我觉得倒没有什么联系。划分树主要是用来解决“区间第k大的数”问题。下面就让我具体的来讲讲如何用划分树解决这道题。
 
  大家需要先大体了解一下什么是“划分树”,它的作用是“快速求出某一区间内第k大的元素”,例如数列“1,2,3,4,5,6,7,8",区间[3,6]内第1大的值就是3。
  那么如何用这个特性求出某一区间内数值在[A,B]范围内的数有多少个呢?
  举个例子:数列“1,5,6,3,8,4,4,2”,L,R,A,B分别为3,6,4,7,即在区间[3,6]范围内查找数值在[4,7]的数有多少个。很显然,这里要查找的区间就是"6,3,8,4",4<=Pi<=7的数有2个。
  用划分树的思路来解决这个问题。先求出这个区间范围内第1大的数是多少,这里是3,拿它和下限 4(A) 来比较,比这个数小,说明不在这个数值范围内。然后求出第2大的数是4,和下限4(A)比较,在这个范围内,记录下它是第几大的数,标记为down,代表 >= 下限A的第一个数是第几大的数,这里为2(第二大的数)。同理,再依次和上限7(B)比较,求出第一个 <= 上限B的数是第几大的数,标记为up,代表 <= 上限B的数是第几大的数,这里为3。这之间包含了多少个数即为要求得的结果,即(up-down+1) 。
  刚才的思路利用划分树顺序查找锁定up和down的值,这样未免会太慢。这道题对速度的要求还是比较高的,所以这里就要用到“二分"的思想。什么是二分呢?举个例子,如果查询区间为[1,8],要求数值范围为[3,6]的数有多少个,先求down。可以先用中间那个数来和下限3比较,即用第4大的数和下限比较,如果比下限小,说明个要找的数在第4大的数右边,下一步再用4和8的中间值,即第6大的数和下限比较,最后得到down的值。同理可以求出up的值。这样一来,速度上又进行了一次优化。
 
  参考资料
 
  代码(带注释)
  1 #include <iostream>
  2 #include <stdio.h>
  3 #include <algorithm>
  4 using namespace std;
  5 #define MAXN 100005
  6 struct Divide_tree{
  7     int arr[MAXN];  //原数组
  8     int sorted[MAXN];   //排序后数组
  9     int sum[20][MAXN];  //记录第i层1~j划分到左子树的元素个数(包括j)
 10     int dat[20][MAXN];  //记录第i层元素序列
 11     void build(int c,int L,int R)   //建树,主要是建立sum[][]和dat[][]数组
 12     {
 13         int mid = (L+R)>>1;
 14         int lsame = mid-L+1;    //lsame用来记录和中间值val_mid相等的,且可以分到左孩子的数的个数
 15                                 //简单来说就是可以放入左孩子的,与中间值val_mid相等的数的个数
 16         int lp=L,rp=mid+1;  //当前节点的左孩子和右孩子存数的起点
 17         for(int i=L;i<mid;i++)  //获得一开始的lsame
 18             if(sorted[i]<sorted[mid])
 19                 lsame--;
 20         for(int i=L;i<=R;i++){  //从前往后遍历一遍,
 21                                 //确定当前节点区间内的所有元素的归属(放在左孩子或者放在右孩子)
 22             if(i==L) sum[c][i]=0;
 23             else sum[c][i]=sum[c][i-1];
 24             if(dat[c][i]<sorted[mid]){  //当前元素比中间值val_mid小,放入左孩子
 25                 dat[c+1][lp++] = dat[c][i];
 26                 sum[c][i]++;
 27             }
 28             else if(dat[c][i]>sorted[mid])  //当前元素比中间值val_mid大,放入右孩子
 29                 dat[c+1][rp++] = dat[c][i];
 30             else{  //当前元素值与中间值val_mid相等,根据lsame数判断放入左孩子还是右孩子
 31                 if(lsame){
 32                     lsame--;
 33                     sum[c][i]++;
 34                     dat[c+1][lp++]=sorted[mid];
 35                 }
 36                 else{
 37                     dat[c+1][rp++]=sorted[mid];
 38                 }
 39             }
 40         }
 41         if(L==R) return ;   //递归出口,遇到叶子节点
 42         build(c+1,L,mid);   //递归进入左孩子区间
 43         build(c+1,mid+1,R); //递归进入右孩子区间
 44     }
 45     int query(int c,int L,int R,int ql,int qr,int k)
 46     {
 47         //c为树的层数,L,R为当前节点的区间范围,ql,qr为查询的区间范围,k为查询范围内第k大的数
 48         if(L==R)    //递归出口,返回第k大的数
 49             return dat[c][L];
 50         int s;  //记录[L,ql-1]中进入左孩子的元素的个数
 51         int ss; //记录[ql,qr]中进入左孩子的元素的个数
 52         int mid=(L+R)>>1;
 53         if(L==ql){  //端点重合的情况,单独考虑
 54             s=0;
 55             ss=sum[c][qr];
 56         }
 57         else {
 58             s=sum[c][ql-1];
 59             ss=sum[c][qr]-s;
 60         }
 61         if(k<=ss)   //左孩子的元素个数大于k个,说明第k大的元素一定在左孩子区间中,到左孩子中查询
 62             return query(c+1,L,mid,L+s,L+s+ss-1,k);
 63         else
 64             return query(c+1,mid+1,R,mid+1+ql-s-L,mid+1+qr-s-ss-L,k-ss);
 65     }
 66 };
 67 Divide_tree tree;
 68 int L,R,A,B;
 69 int N,M;
 70 int downbearch(int low,int high)    //找到第一个比B小的数是 第几大的数(用划分树)
 71 {
 72     int mid = (low+high+1)>>1;
 73     while(low<high){
 74         if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)<=B )  //查询第mid大的数是否比下界B小。
 75                                 //如果mid比B小,说明要找的位置在mid右边,low应该右移,即
 76             low = mid;
 77         else //否则,说明要找的位置应该在mid左边,即
 78             high = mid-1;
 79         mid = (low+high+1)>>1;
 80     }
 81     if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)<=B )    //找到了
 82         return mid;
 83     else
 84         return -1;
 85 }
 86 int upbearch(int low,int high)  //找到第一个比A大的数是 第几大的数(用划分树)
 87 {
 88     int mid = (low+high+1)>>1;
 89     while(low<high){
 90         if( tree.query(0,1,N,L,R,mid)>=A )  //查询第mid大的数是否比上界A大。
 91                                 //如果mid比A大,说明要找的位置在mid左边,high应该左移,即
 92             high = mid;
 93         else //否则,说明要找的位置应该在mid右边,即
 94             low = mid+1;
 95         mid = (low+high)>>1;
 96     }
 97     if(tree.query(0,1,N,L,R,mid)>=A )    //找到了
 98         return mid;
 99     else
100         return -1;
101 }
102 int main()
103 {
104     int i,Case,T;
105     scanf("%d",&T);
106     for(Case=1;Case<=T;Case++){
107         scanf("%d%d",&N,&M);
108         for(i=1;i<=N;i++){   //输入
109             scanf("%d",&tree.arr[i]);
110             tree.sorted[i]=tree.dat[0][i]=tree.arr[i];
111         }
112         sort(tree.sorted+1,tree.sorted+N+1);
113         tree.build(0,1,N);
114         printf("Case #%d:\n",Case);
115         for(i=1;i<=M;i++){
116             scanf("%d%d%d%d",&L,&R,&A,&B);
117             int up = downbearch(1,R-L+1);
118             int down = upbearch(1,R-L+1);
119             if(up==-1||down==-1||A>B||L>R)
120                 printf("0\n");
121             else printf("%d\n",up-down+1);
122         }
123     }
124     return 0;
125 }

 

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